miércoles, 27 de abril de 2016

MATRIZ TRANSPUESTA Y PROPIEDADES

MATRIZ TRANSPUESTA Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas Ejemplo

PROPIEDADES DE LA MATRIZ TRANSPUESTA

(A^t)^t = A

(A + B)^t = A^t + B^t

(α ·A)^t = α· A^t

(A · B)^t = B^t · A^t^{IMAGEN DE LA MATRIZ TRANSPUESTA}

lunes, 25 de abril de 2016

CLASES DE MATRICES

Matriz fila

Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna

La matriz columna tiene una sola columna

Matriz rectangular

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

(A^t)^t = A

(A + B)^t = A^t + B^t

(α ·A)^t = α· A^t

(A · B)^t = B^t · A^t

Matriz nula

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz cuadrada

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma a_ii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz.

Tipos de matrices cuadradas

Matriz triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

IMAGEN DE LAS CLASES DE MATRICES

ELEMENTOS DE MATRICES

Matriz fila

Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna

La matriz columna tiene una sola columna

Matriz rectangular

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

(A^t)^t = A

(A + B)^t = A^t + B^t

(α ·A)^t = α· A^t

(A · B)^t = B^t · A^t

Matriz nula

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz cuadrada

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma a_ii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz.

Tipos de matrices cuadradas

Matriz triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz regular

Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.

Matriz singular

Una matriz singular no tiene matriz inversa.

Matriz idempotente

Una matriz, A, es idempotente si:

A² = A.

Matriz involutiva

Una matriz, A, es involutiva si:

A² = I.

Matriz simétrica

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = A^t.

Matriz antisimétrica o hemisimétrica

Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = −A^t.

Matriz ortogonal

Una matriz es ortogonal si verifica que:

A · A^t = I.

IMAGEN DE LAS CLASES DE MATRICES

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viernes, 22 de abril de 2016

FUNCIONES DE ANGULOS MULTIPLES

ORDEN O DIMENSION DE UNA MATRIZ

La dimensión de una matriz viene dada por el número de filas y columnas que tenga, así una matriz de dimensión 2x3 es una matriz con dos filas y tres columnas. Reiterando, la dimensión de una matriz siempre se da con el número de filas primero y el número de columnas después.
O sea que si se anota

\mathbb{C}_{7\times 5}(\mathbb{R})

significa que se nombra

\mathbb{C}

a una matriz que tiene 7 filas y 5 columnas. La letra

(\mathbb{R})

significa que sus elementos son números reales.

Ejemplos

Dada la matriz

\mathbb{G}\in\mathcal{M}_{4\times 3}(\mathbb{R})

\mathbb{G} = \begin{bmatrix} 7 & 2 & 1 \\ 3 & 6 & 4 \\ 1 & 5 & 9 \\ 8 & 3 & 0 \end{bmatrix}

es una matriz de tamaño

4\times 3

. La entrada

g_{23}\,\!

es 4.

La matriz

\mathbb{F}\in\mathcal{M}_{1\times 9}(\mathbb{R})

\mathbb{F} = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 3 & 7 & 5 & 9 & 2 & 8 & 6 \end{bmatrix}

es una matriz de tamaño

1\times 9

: un vector fila con 9 entradas.

Finalmente una matríz genérica se representa:

\mathbb{A}\in\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R})

\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}

Y una matríz columna genérica

\mathbb{B}\in\mathcal{M}_{m\times 1}(\mathbb{R})

\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}

IMAGEN DEL ORDEN DE LAS MATRICES

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ELEMENTOS DE UNA MATRIZ

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Elemento de una matriz

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento.

Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.

Dimensión de una matriz

El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz de dimensiónmxn es una matriz que tiene m filas y n columnas.

De este modo, una matriz puede ser de dimensión: 2x4 (2 filas y 4 columnas), 3x2 (3 filas y 2 columnas), 2x5 (2 filas y 5 columnas),...

Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columnas, se dice que es de orden: 2, 3, 4, ...

El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por A_mxn o (a_ij).

Un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, se denota por a_i_j.

Matrices iguales

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas,

IMAGEN DE LOS ELEMENTOS DE UNA MATRIZ

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MATRICES

1. DEFINICIÓN DE MATRIZ
Se puede definir una matriz, como un conjunto de elementos (números) ordenados en filas y columnas.
	Para designar una matriz se emplean letras mayúsculas. Cada uno de los elementos de la matriz (a_ij) tiene dos subíndices. El primero i indica la fila a la que pertenece y el segundo j la columna. Esta es una matriz de m filas y n columnas, es decir, de dimensión m x n. Esta matriz también se puede representar de la forma siguiente: A = (a_ij)_{m x n}. Si el número de filas y de columnas es igual ( m = n ), entonces se dice que la matriz es de orden n.

IMAGEN DE LAS MATRICES

EJERCICIOS DE RECTAS PERPENDICULARES CONOCIENDO UN PUNTO Y UNA RECTA

Rectas perpendiculares:

Dos rectas son perpendiculares cuando la multiplicación de sus pendientes es igual a -1.

Ejemplos de rectas perpendiculares : a) y = 3x y b) y = 1/3x +1 c) y = -1/2x + 3 y d) y = 2x -2

Analizamos la siguiente recta: y = 4x + 1

La pendiente de la recta es 4 , por ser positiva la recta es creciente.

La ordenada en el origen n = 1, el punto de corte con el eje de ordenadas será el (0, 1)

Tabla de valores

x	1	0	-1
y	5	1	-3

Analizamos la siguiente recta: y = -1/4x +3

La pendiente de la recta es -1/4 , es perpendicular a la recta anterior.

La ordenada en el origen n = 3, el punto de corte con el eje de ordenadas será el (0, 3)

Gráfica ambas rectas