jueves, 10 de diciembre de 2015

EJERCICIOS DE ASINTOTAS VERTICALES Y HORIZONTALES Hallar las asíntotas verticales de la función $f(x)=\frac{x+1}{x^2-5x+6}$

Estamos ante una función racional, los puntos candidatos a ser asíntotas son aquellos que anulen el denominador.
$\fs2x^2-5x+6=0\;\Leftrightarrow\;(x-2)(x-3)=0\;\Leftrightarrow\;x=2\;o\;x=3$
Estudiamos los límites laterales en esos puntos, basta con que uno de los límites laterales tienda a infinito para que exista la asíntota vertical.
$\lim_{\fs1x\to\;2^-}\frac{x+1}{(x-2)(x-3)}=+\infty$ $\lim_{\fs1x\to\;2^+}\frac{x+1}{(x-2)(x-3)}=-\infty\;\;\fs2\text{luego\;x\;=\;2\;es\;una\;as\acute{i}ntota\;vertical\;de}\;f$
$\lim_{\fs1x\to\;3^-}\frac{x+1}{(x-2)(x-3)}=-\infty$ $\lim_{\fs1x\to\;3^+}\frac{x+1}{(x-2)(x-3)}=+\infty\;\;\fs2\text{luego\;x\;=\;3\;es\;una\;as\acute{i}ntota\;vertical\;de}\;f$

IMAGEN DE LAS ASINTOTAS VERTICAL Y HORIZONTAL

CLASES DE ASINTOTAS

Las asíntotas se clasifican en:

Asíntotas verticales (paralelas al eje OY)

Si existe un número “a” tal, que :

La recta “x = a” es la asíntota vertical.

Ejemplo:

es la asíntota vertical.
Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX)

Si existe el límite: :

La recta “y = b” es la asíntota horizontal.

Ejemplo:

es la asíntota horizontal.

IMAGEN DE LAS ASINTOTAS VERTICAL Y HORIZONTAL

ASINTOTAS

IMAGEN DE LAS ASINTOTAS

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DEFINICION DE ASINTOTAS

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.

Una definición más formal es:

DEFINICIÓN

Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.

FUNCIONES RACIONALES

DEFINICION DE FUNCIONES RACIONALES

Definición: Si P(x) y Q(x) son polinomios, la función de la forma:

se llama una función racional, donde Q(x) es diferente de cero.

Ejemplos:

El dominio de las funciones racionales es el conjunto de todos los números reales tal que el denominador sea diferente de cero.

Ejemplo para discusión: ¿Cuál es el dominio de cada una de las siguientes funciones?

_{IMAGENES DE LAS FUNCIONES RACIONALES}

CEROS DE UNA FUNCION

EJERCICIOS DE CEROS DE UNA FUNCIÓN

1. Reflexión del Día“El secreto del éxito radica en hacerextraordinariamente bien aquellascosas que son comunes y corrientes.” Prof. Diannette Molinary Massol Matemática Integrada 3
2. Tema: Ceros de una funciónObjetivo: (A.PR.11.2.3) Determina el número y la naturaleza de soluciones de una ecuación polinómica. Prof. Diannette Molinary Massol Matemática Integrada 3
3. Ejercicios de Práctica1. f(x) = 4 x − 4 x − 15 22. g(x) = 2 x − x − 15 23. h(x) = 12 x − 27 24. j(x) = 4 x − 24 x + 36 25. k(x) = 3 x − 75 x 3
4. f ( x) = 4 x − 4 x − 15 2 0 = (2 x − 5)(2 x + 3) 2x − 5 = 0 2x + 3 = 0 2x = 5 2 x = −3 5 −3 x= x= 2 2 −3 5  Ceros :  ,   2 2
5. g ( x) = 2 x − x − 15 2 0 = (2 x + 5)( x − 3) 2x + 5 = 0 x −3 = 0 2 x = −5 x=3 −5 x= 2 −5  Ceros :  ,3 2 
6. h( x) = 12 x − 27 2 0 = 3(4 x − 9) 2 0 = 3(2 x − 3)(2 x + 3)2x − 3 = 0 2x + 3 = 02x = 3 2 x = −3 3 −3x= x= 2 2 −3 3  Ceros :  ,   2 2
7. j ( x) = 4 x − 24 x + 36 2 0 = 4( x − 6 x + 9) 2 0 = 4( x − 3)( x − 3) x−3 = 0 x=3 Ceros : { 3 } De multiplicidad 2
8. k ( x) = 3 x − 75 x 3 0 = 3 x( x − 25) 2 0 = 3 x( x − 5)( x + 5)3x = 0 x −5 = 0 x+5 = 0x=0 x=5 x = −5 Ceros : { − 0, 5} 5,

IMAGEN DE LOS EJERCICIOS DE CEROS DE UNA FUNCION

CEROS DE UNA FUNCION

DEFINICION DE CEROS DE UNA FUNCION

Ceros de una función

Dada una función f: A ® B / y = f(x), se dice que x₀ es un cero o raiz de fsi y sólo si x₀ Î A = D_f y f(x₀) = 0.

Los ceros de una función son los puntos en los que la gráfica corta al eje x. Así, en la siguiente gráfica, podemos ver que la función tiene tres ceros o raíces:

Entonces, encontrar los ceros o raíces de una función f: A ® B / y = f(x), implica resolver la ecuación f(x) = 0. Así, por ejemplo:

la función y = x²+ 1 no tiene ceros,
la función y = x³ tiene un cero en x₀ = 0, y
la función y = sen(x) tiene infinitos ceros en los valores de la forma x_k = k.p, con k entero.

IMAGEN DE LOS CEROS DE UNA FUNCION

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domingo, 22 de noviembre de 2015

EJERCICIOS DE DIVISION DE FUNCIONES POLINOMIALES

1) $\frac{2x^2-3x+2}{x^2}$

2x^2 - 3x + 2 I  x^2 -2x^2   I 2
==0 - 3x + 2 ==

- 3x + 2 + 2 --->   -3x    +   2     + 2
x^2 x x^2

2) $\frac{9x^4-6x^3+3x^2+6x-1}{3x^2}$

9x^4 - 6x^3 + 3x^2 + 6x - 1   I 3x^2   -9x^4     I 3x^2 - 2x + 1
0 - 6x^3 + 3x^2 + 6x - 1
  6x^3 0   + 3x^2 + 6x - 1
-3x^2 == 0   + 6x - 1 ==

$\frac{6x-13}{3x^2}+3x^2-2x+1$

$3x^2- \frac{1}{3x^2} -2x+ \frac{2}{x} +1$

DIVISION DE FUNCIONES POLINOMICAS

División polinomial

En álgebra, la división de polinomios (también división polinomial o división polinómica) es un algoritmo que permite dividir un polinomio por otro polinomio que no sea nulo.

El algoritmo es una versión generalizada de la técnica aritmética de división larga. Es fácilmente realizable a mano, porque separa un problema de división complejo, en otros más pequeños.

Sean los polinomios f(x) y g(x), donde g(x) no es el polinomio nulo, entonces existe un único par de polinomios q(x) y r(x) tal que:

\frac{f(x)}{g(x)}=q(x) + \frac{r(x)}{g(x)}

con el grado de r(x) menor que el grado de g(x).

La división sintética permite obtener el cociente q(x) y el resto r(x) dado un dividendo f(x) y un divisor g(x). El problema es expresado como un problema de división no algebraico:^{[cita requerida]}

g(x)\overline{\vert f(x)}

;

Todos los términos con exponentes menores que el mayor deben ser escritos explícitamente, aún si sus coeficientes son cero.

IMAGEN DE LA DIVISION DE FUNCIONES POLINOMICAS

lunes, 16 de noviembre de 2015

MULTIPLICACION DE FUNCIONES POLINOMICAS

DEFINICION

Producto Dadas dos funciones f y g se define la función producto f.g así (f.g)(x)= f(x).g(x) Ej: Sea f(x)= x+3 y g(x)= x2 + 2x – 4. (f.g)(x)=f(x).g(x)= (x+3) .( x2 + 2x – 4) = x3 + 2x2 – 4x + 3x2 +6x -12= x3 + 5x2 +2x-12

IMAGEN DEL PRODUCTO DE FUNCIONES

RESTA DE FUNCIONES POLINOMICAS

DEFINICION La Resta de Funciones que se denota por (F-g)(x)=F(x)-g(x).

Ejemplo:

ºSean las Funciones F(x)=x²-5x+2 y g(x)=2x²+x-4;hallar:

(F-g)(x)=(x²-5x+2)-(2x²+x-4)
= x²-5x+2-2x²-x+4
= -x²-6x+6

IMAGEN DE LA RESTA DE FUNCIONES POLINOMICAS

domingo, 15 de noviembre de 2015

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES

POR ,REDUCCION

1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.

2. La restamos, y desaparece una de las incógnitas.

3. Se resuelve la ecuación resultante.

4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.

5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. EjemplO

Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.

Restamos y resolvemos la ecuación:

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.

Solución:

IMAGEN DE REDUCCION

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